efecto Droste en "galería de grabados"

Aunque en forma invisible, el efecto Droste se encuentra en la obra de Escher Galería de grabados. Escher observó: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que el mismo aparece.» Una extensión lógica de la observación sería: «El joven de la izquierda está mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece, mirando un grabado en el que él mismo aparece…» Y esa es una buena descripción del efecto Droste. Las siguientes cinco figuras lo ilustran claramente:

• Primero, el joven mirando el grabado.• Una ampliación de la parte superior del grabado que el joven mira.• Una esquina con una galería de grabados.• Espiando en la galería aparece el joven frente al grabado.• Finalmente, una nueva ampliación resulta en una figura similar a la primera.

Este efecto Droste no podría representarse en el plano de un grabado normal, aún si Escher lo hubiese reconocido como tal (cosa que dudo). Su observación «El joven está mirando un grabado en el que él mismo aparece» estaba dirigida a sorprender al espectador y a apuntar que había logrado cerrar la obra sobre sí misma, tal como le gustaba hacer.

El punto ciego en el centro del grabado siempre ha sido un enigma. ¿Por qué lo dejó vacío Escher? Su propia respuesta fue: «Allí todo se vuelve tan detallado que proseguir hubiera sido imposible.»

Uno puede responder que podría haber ampliado la trama central, permitiéndole continuar. Como veremos más adelante, Escher hubiera realizado un sorprendente descubrimiento. Pero no era eso lo que buscaba; su objetivo era ilustrar una expansión circular del plano, y eso lo había logrado totalmente.

Sin embargo, el punto ciego sigue intrigándonos: ¿qué se hubiera hecho visible de continuar Escher dibujando de acuerdo con la trama general del grabado?

Podremos adivinarlo mirando la obra más de cerca. Observemos la galería. Comenzando desde la esquina derecha se ven tres arcos y parte de un cuarto donde está parado el joven. Pero la galería continúa y, tras el tercer arco, se curva hacia el centro del grabado.

Podemos seguirla observando el alero. Parece haber seis arcos; el cuarto y el quinto desaparecen en el punto ciego. Y sabemos que el joven y el grabado que observa deben verse tras el cuarto arco.

Este, junto con el quinto arco posiblemente aparecerían si Escher hubiese continuado la trama y llenado el centro del grabado. Y aquí encontramos nuevamente al efecto Droste, por que el grabado que el joven mira parece volver a estar presente, muy reducido, tras el invisible cuarto arco, una y otra vez, en una repetición sin fin. Pero éstas son sólo suposiciones.

Lo que realmente se encuentra tras el cuarto arco sólo salió a la luz en el año 2000, cuando el profesor Hendrik Lenstra analizó la trama de Escher. Enumerando de la manera apropiada los cuadrados distorsionados de la trama, descubrió que el pequeño cuadrado blanco del centro se correspondía con los vértices A, B, C y D del cuadrado mayor. Por lo tanto la trama del cuadrado mayor (y por ende el grabado completo) podía repetirse en el pequeño cuadrado blanco, muy reducida y rotada alrededor de 180 grados.

Y, por supuesto, el pequeño cuadrado blanco contenía en su interior un cuadrado aún menor, y así hasta el infinito. Esto demostraba claramente la presencia oculta del efecto Drocher en Galería de grabados.

Ahora resultaba importante hallar la fórmula subyacente al trabajo de Escher. Se la encontró en una semana; la matemática necesaria se conocía desde hacía un siglo y medio.
Sin embargo, esto no produjo un grabado en el que el punto ciego había desaparecido. Obtenerlo le llevó a Lenstra y sus colaboradores dos años más. Primero, la trama usada por Escher tenía que ser purgada de sus pequeños defectos y redibujada con precisión.

El punto ciego en el centro de la reconstrucción toma forma de espiral y es claramente visible, como también lo son, especialmente en la carpintería de las ventanas, las pequeñas imperfecciones del grabado de Escher.

Luego, Galería de Grabados debía ser reconstruida sin las distorsiones producidas por la trama, aplicando el mismo método y la misma trama de Escher, pero en sentido inverso. Al hacerlo, en el medio del dibujo sin distorsiones apareció una zona blanca con forma de espiral infinita.

El grabado original de Escher carecía de material para llenarla y hubo que hacerlo a mano, continuando las zonas que la rodeaban.
Además, en la trama que Escher había dibujado a mano había pequeñas imperfecciones que requerían corrección. Finalmente se obtuvo el dibujo sin distorsionar sobre el que se basaba el grabado de Escher.

Ahora un programa de computación basado en la descripción matemática de la trama del grabado podía realizar totalmente la expansión circular, mucho más allá del borde ante el que se había detenido Escher… hasta el infinito. El punto ciego había desaparecido y la versión corregida de Galería de grabados se repetía infinitamente en su propio centro. Naturalmente, esto no podía dibujarse: hubiese requerido un plano infinitamente grande. Sin embargo, es posible mostrarla en una animación que haga zoom en el centro de la obra.